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CONCETTI  DI BASE SULLA TEORIA  DEGLI ERRORI

Quando una certa grandezza (angolo, distanza, dislivello) viene misurata direttamente, è inevitabile che la misura ottenuta sia affetta da errori, dovuti a cause diverse, quali l'inesattezza dello strumento, l'imprecisione dei sensi dell'osservatore, le condizioni fisiche ambientali, ecc.

Tali errori, detti errori di osservazione, si possono suddividere in tre categorie:

  1. Errori materiali o sbagli, dovuti ad operazioni eseguite in modo non corretto, che sono sempre individuabili (e quindi eliminabili) mediante opportuni controlli.
  2. Errori sistematici, che hanno la caratteristica di presentarsi sempre col medesimo segno algebrico, ossia fanno sempre aumentare o diminuire le quantità osservate rispetto a quelle effettive.
  3. Errori ACCIDENTALI, che risultano dal concorso di più cause perturbatrici, nessuna delle quali ha influenza preponderante e che agiscono con leggi per lo più sconosciute.

La teoria degli errori prende in esame solo quest'ultima categoria di errori e studia i mezzi per determinare i valori più plausibili.

Per meglio esemplificare il concetto, osserviamo i grafici di fig. 1 e 2, relativi a due "bersagli" di un tiro a segno.

FIG. 1 :
- I punti con coordinate positive o negative sono all'incirca in egual numero. 
- Le coordinate di valore più piccolo sono più numerose di quelle con valori più   elevati.
- Le coordinate di valore grande (punti A,B) sono assai rare.
=> Situazione tipica di ERRORI ACCIDENTALI

FIG. 2 :
- La distribuzione dei punti è abbastanza simile a quella della FIG. 1, ma ha le caratteristiche di essere tutta spostata rispetto al centro.
=> situazione tipica di ERRORI SISTEMATICI
  Quando ne è nota la causa essi possono essere facilmente eliminati (taratura dello strumento, appropriate tecniche di misura, ecc.)

In definitiva i problemi più importanti sono quelli delle riduzione dell'influenza degli errori accidentali, sempre presenti in ogni misura, insieme a quello della valutazione della loro entità.

Nel seguito si propongono due esempi reali di trattamento statistico degli errori accidentali.

Esempio 1

Le operazioni di misura di un angolo sono state eseguite 9 volte e si sono ottenuti i risultati riportati nello specchietto seguente:

 N. della osservazione

Valore misurato

Xi-B

Xi-m

(Xi-m)2

1
2
2
3
5
6
7
8
9

78g 12° 38°°
44.7
31.2
40.9
43.1
36.4
39.8
37.7
40.1

8°°.1
14.7
1.2
10.9
13.1
6.4
9.8
7.7
10.1

-1°°.0
5.6
-7.9
1.8
4.0
-2.7
0.7
-1.4
1.0

1.0
31.4
62.4
3.2
16.0
7.3
0.5
2.0
1.0

B=78g 12° 38°°

82.0

0.1

124.8

 

Siano Xi le n osservazioni, i parametri statistici fondamentali associati all'insieme dato di misure sono:

Media aritmetica

Scarto quadratico medio di un'osservazione

Scarto quadratico medio della media

Nel caso in esame

 

 

Esempio 2

I valori di seguito riportati sono i risultati di reali misure eseguite; essi rappresentano gli errori di chiusura di 50 livellazioni di alta precisione eseguite sullo stesso percorso.

 

Calcolo della media 

Calcolo dell' E.Q.M.

 

  Per confrontare l'istogramma della variabile x con la curva standard (gaussiana) è opportuno uno scambio di variabile

 

 

Il risultato è riportato nella tabella a fianco.

 

 

Portando in istogramma  i valori della tabella ottenuta dal cambiamento di variabile possiamo disegnare il grafico seguente:

 

 

 

Una numerosa serie di risultati sperimentali ha confermato che la distribuzione Gaussiana, la cui equazione è:

si presta bene a rappresentare una popolazione di possibili misure.

 

 

 

 

 


Si osserva a questo punto che, conseguenza di questa stretta relazione  fra l'istogramma dei dati sperimentali e la curva di Gauss, una volta valutato lo s.q.m. di un insieme di osservazioni, le attendibilità dei dati osservati stessi si possono esprimere sinteticamente nel modo seguente:

 INTERVALLO

PROBABILITA'

M +/-  sqm

M +/- 2sqm

M +/- 3sqm

68.3 %

95.4 %

99.7 %

Ciò significa che in ogni popolazione possibile rappresentata da una distribuzione di tipo normale (Gaussiano), il 68.3 % dei valori argomentali è compreso entro i limiti M - sqm e M + sqm; il 95.4 % entro i limiti M - 2sqm e M + 2sqm; il 99.7 % entro i limiti M - 3sqm e M + 3sqm; ossia la totalità dei valori sarà compresa nell'intervallo M +/- 3sqm.

 LA MEDIA PONDERATA

Sovente capita che le misure di una stessa grandezza siano eseguite in tempi o condizioni diverse; ad es. operatori diversi o con diversi strumenti.
Allora occorre pensare che le serie di misure ottenute siano delle estrazioni a caso da "popolazioni" differenti tra di loro; il valore più probabile è in tale circostanza fornito dalla MEDIA PONDERATA:


Le scelte dei "pesi" (cioè dei "numeri" che quantificano l'influenza maggiore o minore che ogni singola osservazione ha sul valore della media) viene fatta con criteri diversi. I più frequenti sono i seguenti:

  1. Sono date serie di misure  con i relativi s.q.m.; i pesi si sceglieranno in modo che siano inversamente proporzionali ai quadrati di questi ultimi;
  2. si conoscono a priori "le precisioni" degli strumenti (diversi) utilizzati per le misure; la proporzionalità inversa sarà fatta rispetto a tali precisioni.
  3. Si conoscono le cause (esprimibili metricamente) che possono aver influito sulla serie delle misure: ad es. una quota determinata attraverso linee di livellazione di diversa lunghezza. I pesi saranno allora valutati tenendo conto di queste diverse condizioni.

L'errore quadratico medio della media ponderata è:

 dove m0 è detto errore quadratico medio dell'unità di peso, e vale 

 

Il valore più probabile delle grandezze sarà :